미분: 순간을 포착하는 현미경

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미분이 난해한 이유

필자는 미분은 너무 어렵고, 난해하고, 익숙하지 않은 수학으로 바라봅니다. 연속적인 세계를 설명하는 미분을 이산적인 컴퓨터 그래픽스 환경에 적용해야 한다는 것은 직관성을 떨어트리고, 혼동시킬 수 있습니다.

또 한, 3D를 모델링하거나, 선형대수를 활용한 텍스쳐링 및 쉐이딩과, 유체 역학이나 천의 움직임, 머리카락 시뮬레이션과 같은 물리 기반 애니메이션을 구현하는 것은 다른 수학적 접근의 문제입니다. 특히 유체나 가스 시뮬레이션과 같은 고급 기술은 복잡한 미분 방정식을 풀어야 하므로 난이도가 매우 높습니다.

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미분은 함수의 특정 지점에서의 순간적인 변화율, 즉 접선의 기울기를 구하는 과정입니다. 어떤 함수의 그래프를 특정 지점에서 계속 확대하면, 그 부분은 거의 직선처럼 보이게 됩니다. 이 직선의 기울기가 바로 그 지점에서의 **'미분계수'**이며, 이는 함수의 순간적인 변화율을 의미합니다.

만약 그래프 위를 움직이는 '입자'가 있다고 상상한다면, 미분은 그 입자가 특정 순간에 어느 방향으로 얼마나 빠르게 움직이는지를 알려주는 것과 같습니다.

연속성과 미분가능성

함수가 특정 점에서 미분 가능하려면, 반드시 그 점에서 연속이어야 합니다. 즉, 그래프가 끊어져 있으면 그 지점의 순간적인 변화를 논할 수 없습니다.

하지만 연속이라고 해서 항상 미분이 가능한 것은 아닙니다.

$y=|x|$

$y=x^2$

• 예를 들어 절댓값 함수 $y=|x|$의 그래프는 $x=0$에서 끊어지지 않고 이어져 있어 연속이지만, 뾰족한 점(첨점)을 가집니다.
• 이 뾰족한 점에서는 접선을 하나로 결정할 수 없기 때문에 미분이 불가능합니다.
• 따라서 미분은 단순히 '연속적인' 세계를 넘어 '매끄러운' 곡선의 세계에서 완벽하게 작동하는 도구라고 할 수 있습니다.